Formule explicite pour une suite définie par une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1}=u_n+a \times n+b\) avec \(a\) et \(b\) des réels

Soit la suite \((u_n)\) définie à partir de l'indice \(k\), \(k \in \mathbb{N}\) :
\(\forall n \in \mathbb{N}\), \(n \ge k\),
\(u_{n+1}=u_n+a \times n + b\), \(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R}\).
\(u_k=x\), \(x \in \mathbb{R}\)

\(\forall n \in \mathbb{N}\), \(n \ge k\), \(v_n=u_{n+1}-u_n\)
\(v_n=u_n + an+b-u_n=a \times n +b\)

\(\forall n \in \mathbb{N}\), \(n \ge k\),
\(S_n = v_k + v_{k+1} + ... + v_{n-1}\)
\(S_n=(a \times k +b) + (a \times (k+1) +b)+...+(a \times (n-1) +b)\)
On remarque que cette somme comprend \(n-k\) termes. On peut donc écrire :
\(S_n = a\times (k+(k+1)+...+(n-1)) + (n-k) \times b\)

\(k+(k+1)+...+(n-1)\) étant la somme des entiers compris entre \(k\) et \(n-1\) (bornes comprises), on peut écrire :
\(k+(k+1)+...+(n-1) = (1+2+...+k+...+(n-1)) - (1+2+...+(k-1))\)

Pour exprimer la somme des n-1 et des k-1 premiers entiers naturels, on utilise la formule démontrée ici. On peut alors écrire :
\(k+(k+1)+...+(n-1) = \dfrac{(n-1)(n-1+1)}{2} - \dfrac{(k-1)(k-1+1)}{2}\)
\(k+(k+1)+...+(n-1) = \dfrac{n(n-1)-k(k-1)}{2} = \dfrac{n^2-n-k^2+k}{2}\)

On a ainsi une expression de \(S_n\) :
\(S_n = a \times (\dfrac{n^2-n-k^2+k}{2}) + b \times n - b \times k\)

D'autre part, on peut écrire :
\(S_n = (u_{k+1} - u_k) + (u_{k+2} - u_{k+1}) + ... + (u_n - u_{n-1})\)
A chaque fois le terme ajouté après la parenthèses ouvrante est soustrait plus loin, à l'exception des termes \(-u_k\) et \(u_n\). On a donc une seconde expression de \(S_n\) :
\(S_n = u_n - u_k\)

On peut donc écrire :
\(u_n - u_k = a \times (\dfrac{n^2-n-k^2+k}{2}) + b \times n - b \times k\)
\(u_n = a \times (\dfrac{n^2-n-k^2+k}{2}) + bn - bk + u_k\)
\(u_n = \dfrac{a}{2} \times n^2 + (b-\dfrac{a}{2}) \times n - \dfrac{a}{2} \times k^2 + \dfrac{a\times k}{2}-b \times k + u_k\)

\(u_n\) peut alors s'exprimer en fonction de \(n\) avec un polynôme du second degré.Cas particuliers :

• pour une suite définie sur \(\mathbb{N}\), \((k=0)\) :
  \(u_n = \dfrac{a}{2}\times n^2+(b-\dfrac{a}{2})\times n + u_0\)


• pour une suite définie sur \(\mathbb{N}*\), \((k=1)\) :
  \(u_n = \dfrac{a}{2}\times n^2+(b-\dfrac{a}{2})\times n -b+ u_1\)

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